Комплексні числа - подальше розширення поняття числа порівняно з дійсними числами. Введення в математику комплексних чисел дозволило надати закінчений вигляд багатьом закономірностям і формулам, а також виявило глибокі зв'язки між різними областями математичної науки.
Як відомо, ніяке дійсне число не може бути квадратним коренем з від'ємного числа, тобто, якщо b < 0, то неможливо знайти таке a, щоб a ^ 2 =
b. У зв'язку з цим було вирішено ввести нову одиницю, за допомогою якої можна було б висловити таке a. Вона отримала назву уявної одиниці і позначення i. Уявна одиниця дорівнює квадратному кореню з -
1.Поскільку i 2 = -1, то (-b 2) =. Так вводиться поняття уявного числа. Будь-яке уявне число можна виразити у вигляді ib, де b - дійсне
число. Дійсні числа можна уявити у вигляді числової вісі від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Уявні числа виявилося зручно представити у вигляді аналогічної осі, перпендикулярної вісі дійсних чисел. Разом вони складають координати числової
площини. При цьому кожній точці числової площини з координатами (a, b) відповідає одне і тільки одне комплексне число виду a + ib, де a і b - дійсні числа. Перше доданок цієї суми називається дійсною частиною комплексного числа, друге
- уявною частиною. Якщо a = 0, то комплексне число називається чисто уявним. Якщо b = 0, число називається
дійсним. Знак додавання між дійсною і уявною частинами комплексного числа не позначає їх арифметичної суми. Швидше комплексне число можна уявити у вигляді вектора, початок якого збігається з початком координат, а кінець знаходиться
в точці (a, b). Як у всякого вектора, у комплексного числа є абсолютне значення, або модуль. Якщо z = x + iy, то
|z| = ^ (x2 + y ^ 2) .Два комплексних числа вважаються рівними тільки в тому випадку, якщо дійсна частина одного дорівнює дійсній частині іншого і уявна частина одного дорівнює уявній частині
іншого, тобто:z1 = z2, якщо
x1 = x2 і y1 = y2.Однак для комплексних чисел не мають сенсу знаки нерівності, тобто не можна сказати, що z1 < z2 або z1 > z2. Порівнювати таким чином можна тільки модулі
комплексних чисел. Якщо z1 = x1 + iy1 і z2 = x2 + iy2 -
комплексні числа, то:z1 + z2 = (
x1 + x2) + i(y1 + y2);z1 - z2 = (
x1 - x2) + i (y1 - у2), легко помітити, що додавання і віднімання комплексних чисел підпорядковується тому ж правилу, що додавання
і віднімання векторів. Твір двох
комплексних чисел дорівнює:z1 * z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i
* y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.Оскільки
i ^ 2 = -1, то кінцевий резул
ьтат дорівнює:(x1 * x2 - y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1). Операції зведення в ступінь і вилучення кореня для комплексних чисел визначаються так само, як і для дійсних. Однак у комплексній області для будь-якого числа існує рівно n та
ких чисел b, що b ^ n = a, тобто n коренів n-го ступеня. Зокрема, це означає, що будь-яке алгебраїчне рівняння n-го ступеня з однією змінною має рівно n комплексних коренів, деякі з яких можуть бути і дійсними.
COM_SPPAGEBUILDER_NO_ITEMS_FOUND