Ряди є основою математичного аналізу. Саме тому так важливо навчитися їх правильно вирішувати, оскільки надалі навколо них будуть крутитися інші поняття.

При першому знайомстві з рядами часом досить важко зрозуміти, як вони влаштовані. Тим більше проблематично вирішувати їх. Але з часом ви наберетеся досвіду і будете орієнтуватися в даному питанні.
Насамперед необхідно почати з самого елементарного, а саме з вивчення схожості і витратності числових рядів. Дана тема є основоположною, тим фундаментом, без якого подальше просування буде неможливо.

Далі потрібно визначитися з поняттям часткової суми ряду. Відповідна послідовність існує завжди, але треба зуміти її не тільки побачити, а й правильно скласти. Потім вам потрібно знайти межу. Якщо він існує, то ряд буде схожим. В іншому випадку - таким, що розходиться. Це і буде рішенням ряду.

Дуже часто на практиці зустрічаються ряди, які утворені з елементів геометричної прогресії. Вони називаються геометричними рядами. У цьому випадку, рішенням послужить один важливий факт. За умови, що знаменник геометричної прогресії менше одиниці, ряд буде схожим. Якщо він більше або дорівнює одиниці, то розходиться.

Якщо ж рішення знайти не вдалося, ви можете скористатися необхідною ознакою схожості рядків. Він говорить, що якщо числовий ряд сходиться, то межа часткових сум буде дорівнювати нулю. Ознака не є достатньою, тому у зворотному напрямку не діє. Але зустрічаються приклади, в яких межа часткових сум виявиться рівним нулю, а значить, рішення знайдено, тобто схожість ряду буде обґрунтована.

Ця теорема не завжди застосовна в складних ситуаціях. Може виявитися, що всі члени ряду позитивні. Для того, щоб знайти його рішення, вам потрібно знайти область значення ряду. А потім, якщо послідовність часткових сум буде обмежена зверху, ряд буде схожим. В іншому випадку - таким, що розходиться.

Хордою в математиці, технічному черченні та деяких інших галузях знань прийнято називати відрізок прямої, який з'єднує дві будь-які точки кола. Найдовша хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром. Вам потрібен

Виконайте креслення відповідно до умов завдання. Накресліть коло заданого радіусу. Якщо вам відомий кут дуги, яку стягує хорда, побудуйте його. Проведіть радіус, відкладіть за допомогою транспортиру потрібний кут і проведіть ще один. Точки перетину радіусів з колом з'єднайте прямий. Це і буде потрібна вам хорда. Якщо ж кут невідомий, накресліть довільну хорду.

Виконайте додаткову побудову. Розділіть хорду навпіл і проведіть перпендикуляр з центру кола. У вас вийшов рівнобедрений трикутник, висотою якого є перпендикуляр до середини хорди.

Позначте радіус як R, хорду - як h, а центральний кут - як А. Тоді h модно обчислити або через синус А, або через косинус. У першому випадку формула виглядатиме як h = 2R * sinA/2, де R - відомий радіус кола. У другому випадку формула буде виглядати як h = R * ^ (1-cosB) .

Одна з найдавніших геометричних завдань - знайти довжину хорди, якщо відомі радіус окружності і довжина дуги. Вирахуйте довжину кола P. Вона дорівнює подвоєному радіусу, помноженому на коефіцієнт ПВиразити її можна формулою P = 2ПR.Вичисліть

ставлення заданої довжини дуги l до довжини кола P. Таким чином ви вирахуєте розмір кута дуги. У даному випадку неважливо, буде він в градусах або радіанах. Знаючи його розмір, обчисліть синус половинного кута. Після цього ви можете обчислити розмір хорди за вже відомою вам формулою.

Нерідко доводиться стикатися і з протилежним завданням - наприклад, знайти довжину дуги по радіусу кола і довжині хорди. Використовуючи теорему синусів, обчисліть розмір половинного, а потім і цілого центрального кута. Знаючи його, за співвідношенням довжини дуги до довжини окружності вирахуйте невідому вам довжину дуги.

Землетрус - це стихійне лихо, супроводжуване підземними поштовхами і коливаннями земної поверхні. Землетруси розрізняються за своєю силою і ступенем руйнівних наслідків, сила ж землетрусу оцінюється за 12-бальною шкалою.

Землетрус одного бала сили ніким не відчувається, але реєструється досить точними сейсмічними приладами. Землетрус двох балів - іноді відчувається людьми.

Деякі люди, які живуть на верхніх поверхах, можуть відчути трибальні землетруси. У разі підземних коливань чотирьох балів, це відчують вже багато хто, а особливо - перебувають у приміщенні. При цьому може дзвеніти посуд, дрібати скло, грюкати двері. Вночі люди нерідко від такого землетрусу прокидаються.

Землетрус силою в п'ять балів помітять практично всі; вночі навряд чи хтось продовжить спати. Висячі предмети помітно розгойдуються, починає обсипатися побілка і штукатурка, в склах будинків з'являються тріщини.

Підземні коливання, що мають силу шість балів, відчують всі. Штукатурка обсипається, будівлі отримують легкі пошкодження.

При землетрусі в сім балів будівлі руйнуються вже більш значно: від штукатурки відколюються окремі шматки, стіни тріскаються. Сидячи в автомобілі, вже можна відчувати поштовхи.

При подальшому посиленні землетрусу (до сили, що оцінюється у вісім балів), тріщини в стінах розростаються і стають великими, падають труби, карнизи, пам'ятники. Спостерігаються тріщини в ґрунті.

Якщо падають стіни, злітають дахи будинків, розриваються підземні трубопроводи, - так проявляється землетрус у дев'ять балів.

Найсильнішим землетрусом, що несе катастрофічні наслідки, є землетрус десятибальний. Багато будівель обвалюються, залізничні рейки викривляються. Тріщини, обвали і зсуви з'являються в ґрунті.

Землетрус інтенсивністю в одинадцять балів загрожує досить руйнівними наслідками для рельєфу. Зовнішній вигляд епіцентру зазнає кардинальних змін: в землі утворюються численні широкі тріщини, відбуваються обвали в горах, руйнуються мости. Вижити в таких умовах нереально.

Дванадцять балів - максимальна, на думку вчених, магнітуда, яку в принципі може мати землетрус. При стихійному лиху такого масштабу будуть спостерігатися значні зміни рельєфу, глобальне руйнування будівель, відхилення протягом річок, а предмети будуть підкидатися в повітря.

Матрицею називають таблицю, що складається з певних значень і має розмірність у n стовпчиків і m рядків. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАУ) може вирішуватися за допомогою пов'язаних з нею матриць - матриці системи і розширеної матриці. Перша являє собою масив А коефіцієнтів системи, що стоять при невідомих змінних. При додаванні до цього масиву стовпчика-матриці У вільних членів СЛАУ виходить розширена матриця (А'В). Побудова розширеної матриці є одним з етапів у вирішенні довільної системи рівнянь

. У загальному вигляді систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна вирішити методом підстановки, але для СЛАУ великої розмірності таке обчислення досить трудомістко. І частіше в цьому випадку використовують пов'язані матриці, в тому числі і розширену

. Запишіть задану систему лінійних рівнянь. Проведіть її перетворення, впорядкувавши множники в рівняннях таким чином, щоб однакові невідомі змінні розташовувалися в системі строго один під одним. Вільні коефіцієнти без невідомих перенесіть в іншу частину рівнянь. При перестановці доданків та перенесенні враховуйте їх знак

. Визначте матрицю системи. Для цього окремо випишіть коефіцієнти, що стоять при шуканих змінних СЛАУ. Виписувати потрібно в тому порядку, як вони розташовані в системі, тобто з першого рівняння перший коефіцієнт поставте на перетині першого рядка і першого стовпчика матриці. Порядок рядків нової матриці відповідає порядку рівнянь системи. Якщо одна з невідомих систем в цьому рівнянні відсутня, значить, її коефіцієнт тут дорівнює нулю - внесіть нуль в матрицю на відповідну позицію рядка. Отримувана матриця системи повинна бути квадратною (m =

n) .Найдіть розширену матрицю системи. Вільні коефіцієнти в рівняннях системи за знаком рівності випишіть в окремий стовпчик, зберігаючи той самий порядок рядків. У квадратній матриці системи праворуч від усіх коефіцієнтів поставте вертикальну межу. За межею допишіть отриманий стовпець вільних членів. Це і буде розширена матриця початкової СЛАУ розмірністю (m, n + 1), де m - число рядків, n - число стовпчиків.